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[爆料区] 歌词中的数学问题:"傻""呆""坏"的男人有多少?

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发表于 2017-9-13 08:24:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
"十个男人七个傻,八个呆,九个坏,还有一个人人爱……"
--陶晶莹《姐姐妹妹站起来》
根据这句歌词的内容,求"傻""呆""坏"三样全占的男人个数的最大值和最小值,并给出解释。
至少需要雇用364个员工。
你的第一感觉或许是,公司应该雇用 100 多人,或者 200 多人吧。答案或许会让你大吃一惊:公司应该雇用 365 个人。注意,雇用 365 个人并不意味着全体员工全年的总工作时间为 0 ,因为 365 个人的生日都是随机的,恰好每天都有一个人过生日的概率极小极小。下面我们就来证明,这个问题的最优解就是 365 人。
由于期望值满足线性关系(即对于随机变量 X 和 Y 有 E(X) + E(Y) = E(X+Y) ),因此我们只需要让每一天员工总工作时间的期望值最大就可以了。假设公司里有 n 个人,那么在特定的一天里,没有人过生日的概率是 (364/365)n 。因此,这一天的期望总工作时间就是 n · (364/365)n 个工作日。为了考察函数 n · (364/365)n 的增减性,我们来看一下 ((n+1) · (364/365)n+1) / (n · (364/365)n) 的值,它等于 (364 · (n+1)) / (365 · n) 。如果分子比分母小,解得 n > 364 。可见,要到 n = 365 以后,函数才是递减的。
n取364,365时都能取最大值,但n取364时需付工资少,所以应雇佣364人。

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